matlab数据类型 —— 复型(复数)-繁依Fanyi

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〇、概述

在实数范围内,有些运算仍然不能进行,比如

9

sqrt{-9}

9

10

4

sqrt[4]{-10}

410
等等复数开偶次方的情况无法计算,为了使这种情况有解,便将数集扩充,便有了复数集。

复型(复数类型):我们把形如

z

=

a

+

b

i

z = a + btextbf{i}

z=a+bi 的数称为 复数

在 matlab 中的复数就称为 复型没有历史考证,看的网上有人这么叫,可能不专业)。

一般情况下没有使用复型的必要,所以没有特殊需求的小伙伴可以跳过本节哦😲!

一、复数

1. 复数概述

复型(复数类型):我们把形如

z

=

a

+

b

i

z = a + btextbf{i}

z=a+bi 的数称为 复数,例如 10 + 3i-1 + 10i6 - 8i 等等。

  • a 称为 实部
  • b 称为 虚部
  • i 称为 虚数单位

当实部a为 0 ,虚部b不为 0 时,复数z纯虚数。当实部b为 0 时,复数z实数

2. 复数运算

定义两个复数 :

z

1

=

a

+

b

i

z1 = a + btextbf{i}

z1=a+bi

z

2

=

c

+

d

i

z2 = c + dtextbf{i}

z2=c+di

(1) 基本运算
① 复数的加法

复数的和仍然是复数,将实部与实部相加,虚部与虚部相加即可。(相同单位的加在一起)

z

1

+

z

2

=

(

a

+

c

)

+

(

b

+

d

)

i

z1 + z2 = (a + c) + (b + d)textbf{i}

z1+z2=(a+c)+(b+d)i

② 复数的乘法

复数的乘积也仍是一个复数,和初中学习的多项式相乘差不多。

z

1

×

z

2

=

a

c

+

a

d

i

+

b

c

i

+

b

d

i

2

z1 times z2 = ac + adtextbf{i} + bctextbf{i} + bdtextbf{i}^{2}

z1×z2=ac+adi+bci+bdi2

由于:

i

2

=

1

textbf{i}^{2} = -1

i2=1

z

1

+

z

2

=

(

a

c

b

d

)

+

(

a

d

+

b

c

)

i

z1 + z2 = (ac – bd) + (ad + bc)textbf{i}

z1+z2=(acbd)+(ad+bc)i

③ 复数的模

复数的模:复数的实部与虚部的平方和的正的平方根的值,记作

z

|z|

z

a

+

b

i

=

a

2

+

b

2

| a+btextbf{i}|=sqrt{a^{2} + b^{2}}

a+bi=a2+b2

(2) 共轭复数

z

=

a

+

b

i

z = a + btextbf{i}

z=a+bi,则共轭复数

z

=

a

b

i

overline{z} = a -btextbf{i}

z=abi

① 共轭复数的性质

共轭复数有以下几点给常见的性质,利用这些性质能够帮助我们更好地计算。

  1. z

    =

    z

    |z|=|overline{z}|

    z=z

  2. z

    +

    z

    =

    2

    a

    z+overline{z}=2a

    z+z=2a

    z

    z

    =

    2

    b

    i

    z-overline{z}=2btextbf{i}

    zz=2bi

  3. z

    ×

    z

    =

    z

    2

    =

    a

    2

    +

    b

    2

    ztimesoverline{z}=|z|^{2}=a^{2}+b^{2}

    z×z=z2=a2+b2

(3) 复数的辐角

复数的模与辐角是复数三角形式表示的两个基本元素

  • 复数所对应的向量长度称为复数的 幅值
  • 该向量与实轴正方向的夹角为复数的 辐角,下图中的θ就是 辐角

在这里插入图片描述
则有 :

t

a

n

θ

=

b

a

tanθ=frac{b}{a}

tanθ=ab
由直角坐标与极坐标的关系可知,非零有穷复数

z

z

z可以用其模

r

=

z

r=|z|

r=z与辐角

θ

θ

θ来表示,则有:

z

=

r

(

c

o

s

θ

+

s

i

n

θ

i

)

z=r(cosθ +sinθtextbf{i})

z=r(cosθ+sinθi)

二、复型创建

复数的创建有两种方式,直接创建使用complex()函数创建

1. 直接创建

在 matlab 中,ij 表示基本虚数单位,可以使用它们来创建复数。

>> a=1+2i

a =

   1.0000 + 2.0000i

>>
>> b=1+2j

b =

   1.0000 + 2.0000i

>>
>> whos
  Name      Size            Bytes  Class     Attributes

  a         1x1                16  double    complex   
  b         1x1                16  double    complex

2. 使用 complex函数 创建

matlab 中也提供了 complex() 函数用来创建 复数类型,使用方式如下:

>> c = complex(1,2)

c =

   1.0000 + 2.0000i

>>
>> whos
  Name      Size            Bytes  Class     Attributes

  a         1x1                16  double    complex   
  b         1x1                16  double    complex   
  c         1x1                16  double    complex   

三、复型相关函数

1. abs函数

abs() 函数用于返回复数 z 的模,使用如下:

>> z = 1 + 2i

z =

   1.0000 + 2.0000i

>>
>> abs(z)   %返回复数的模

ans =

    2.2361

2. imag函数 与 real函数

  • imag() 函数用于返回复数 z 的虚部
  • real() 函数用于返回复数 z 的实部

使用代码如下:

>> z = 1 + 2i

z =

   1.0000 + 2.0000i

>> 
>> imag(z)  %返回复数的虚部

ans =

     2

>>
>> real(z)  %返回复数的实部

ans =

     1

3. conj函数

conj() 用于计算复数 z 的共轭复数。使用如下:

>> z = 1 + 2i

z =

   1.0000 + 2.0000i

>>
>> conj(z)  %计算复数的共轭复数

ans =

   1.0000 - 2.0000i

4. angle函数

angle() 函数用于计算复数 z 的辐角。使用如下:

>> z = 1 + 2i

z =

   1.0000 + 2.0000i

>>
>> angle(z)  %计算复数的辐角

ans =

    1.1071

5. complex函数

complex() 函数不仅可以向上面一样创建复数,也可以用来创建复数数组。使用如下:

>> a = double([1;2;3;4])  %复数的实部

a =

     1
     2
     3
     4

>>
>> b = double([5;6;7;8])  %复数的虚部

b =

     5
     6
     7
     8

>>
>> z = complex(a,b)  %创建复数数组

z =

   1.0000 + 5.0000i
   2.0000 + 6.0000i
   3.0000 + 7.0000i
   4.0000 + 8.0000i

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