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〇、概述
在实数范围内，有些运算仍然不能进行，比如
−
9
sqrt{-9}
−9、
−
10
4
sqrt[4]{-10}
4−10 等等复数开偶次方的情况无法计算，为了使这种情况有解，便将数集扩充，便有了复数集。
复型（复数类型）：我们把形如
z
=
a
+
b
i
z = a + btextbf{i}
z=a+bi 的数称为 复数。
在 matlab 中的复数就称为 复型（没有历史考证，看的网上有人这么叫，可能不专业）。
一般情况下没有使用复型的必要，所以没有特殊需求的小伙伴可以跳过本节哦😲！
一、复数
1. 复数概述
复型（复数类型）：我们把形如
z
=
a
+
b
i
z = a + btextbf{i}
z=a+bi 的数称为 复数，例如 10 + 3i、-1 + 10i、6 - 8i 等等。
a称为 实部b称为 虚部i称为 虚数单位
当实部a为 0 ，虚部b不为 0 时，复数z为 纯虚数。当实部b为 0 时，复数z为 实数。
2. 复数运算
定义两个复数 ：
z
1
=
a
+
b
i
z1 = a + btextbf{i}
z1=a+bi 、
z
2
=
c
+
d
i
z2 = c + dtextbf{i}
z2=c+di。
(1) 基本运算
① 复数的加法
复数的和仍然是复数，将实部与实部相加，虚部与虚部相加即可。（相同单位的加在一起）
z
1
+
z
2
=
(
a
+
c
)
+
(
b
+
d
)
i
z1 + z2 = (a + c) + (b + d)textbf{i}
z1+z2=(a+c)+(b+d)i
② 复数的乘法
复数的乘积也仍是一个复数，和初中学习的多项式相乘差不多。
z
1
×
z
2
=
a
c
+
a
d
i
+
b
c
i
+
b
d
i
2
z1 times z2 = ac + adtextbf{i} + bctextbf{i} + bdtextbf{i}^{2}
z1×z2=ac+adi+bci+bdi2
由于：
i
2
=
−
1
textbf{i}^{2} = -1
i2=−1
z
1
+
z
2
=
(
a
c
−
b
d
)
+
(
a
d
+
b
c
)
i
z1 + z2 = (ac – bd) + (ad + bc)textbf{i}
z1+z2=(ac−bd)+(ad+bc)i
③ 复数的模
复数的模：复数的实部与虚部的平方和的正的平方根的值，记作
∣
z
∣
|z|
∣z∣。
∣
a
+
b
i
∣
=
a
2
+
b
2
| a+btextbf{i}|=sqrt{a^{2} + b^{2}}
∣a+bi∣=a2+b2
(2) 共轭复数
若
z
=
a
+
b
i
z = a + btextbf{i}
z=a+bi，则共轭复数
z
‾
=
a
−
b
i
overline{z} = a -btextbf{i}
z=a−bi。
① 共轭复数的性质
共轭复数有以下几点给常见的性质，利用这些性质能够帮助我们更好地计算。
-
∣
z
∣
=
∣
z
‾
∣
|z|=|overline{z}|
∣z∣=∣z∣ -
z
+
z
‾
=
2
a
z+overline{z}=2a
z+z=2a，z
−
z
‾
=
2
b
i
z-overline{z}=2btextbf{i}
z−z=2bi -
z
×
z
‾
=
∣
z
∣
2
=
a
2
+
b
2
ztimesoverline{z}=|z|^{2}=a^{2}+b^{2}
z×z=∣z∣2=a2+b2
(3) 复数的辐角
复数的模与辐角是复数三角形式表示的两个基本元素
- 复数所对应的向量长度称为复数的 幅值
- 该向量与实轴正方向的夹角为复数的 辐角，下图中的
θ就是 辐角。
则有 ：
t
a
n
θ
=
b
a
tanθ=frac{b}{a}
tanθ=ab
由直角坐标与极坐标的关系可知，非零有穷复数
z
z
z可以用其模
r
=
∣
z
∣
r=|z|
r=∣z∣与辐角
θ
θ
θ来表示，则有：
z
=
r
(
c
o
s
θ
+
s
i
n
θ
i
)
z=r(cosθ +sinθtextbf{i})
z=r(cosθ+sinθi)
二、复型创建
复数的创建有两种方式，直接创建 与 使用complex()函数创建 。
1. 直接创建
在 matlab 中，i 和 j 表示基本虚数单位，可以使用它们来创建复数。
>> a=1+2i
a =
1.0000 + 2.0000i
>>
>> b=1+2j
b =
1.0000 + 2.0000i
>>
>> whos
Name Size Bytes Class Attributes
a 1x1 16 double complex
b 1x1 16 double complex
2. 使用 complex函数 创建
matlab 中也提供了 complex() 函数用来创建 复数类型，使用方式如下：
>> c = complex(1,2)
c =
1.0000 + 2.0000i
>>
>> whos
Name Size Bytes Class Attributes
a 1x1 16 double complex
b 1x1 16 double complex
c 1x1 16 double complex
三、复型相关函数
1. abs函数
abs() 函数用于返回复数 z 的模，使用如下：
>> z = 1 + 2i
z =
1.0000 + 2.0000i
>>
>> abs(z) %返回复数的模
ans =
2.2361
2. imag函数 与 real函数
imag()函数用于返回复数 z 的虚部real()函数用于返回复数z的实部
使用代码如下：
>> z = 1 + 2i
z =
1.0000 + 2.0000i
>>
>> imag(z) %返回复数的虚部
ans =
2
>>
>> real(z) %返回复数的实部
ans =
1
3. conj函数
conj() 用于计算复数 z 的共轭复数。使用如下：
>> z = 1 + 2i
z =
1.0000 + 2.0000i
>>
>> conj(z) %计算复数的共轭复数
ans =
1.0000 - 2.0000i
4. angle函数
angle() 函数用于计算复数 z 的辐角。使用如下：
>> z = 1 + 2i
z =
1.0000 + 2.0000i
>>
>> angle(z) %计算复数的辐角
ans =
1.1071
5. complex函数
complex() 函数不仅可以向上面一样创建复数，也可以用来创建复数数组。使用如下：
>> a = double([1;2;3;4]) %复数的实部
a =
1
2
3
4
>>
>> b = double([5;6;7;8]) %复数的虚部
b =
5
6
7
8
>>
>> z = complex(a,b) %创建复数数组
z =
1.0000 + 5.0000i
2.0000 + 6.0000i
3.0000 + 7.0000i
4.0000 + 8.0000i
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