距离度量 —— 欧式距离(Euclidean Distance)-繁依Fanyi

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一、概述

欧式距离,也称为 欧几里得距离,是我们从小学、初中、高中等等乃至现在都会用到的距离度量。

两点之间线段最短” 大家都学过吧,这里只不过给换了一个高大上的英文名字,就是我们在小初高等试卷上计算距离的那个公式

二、计算公式

① 二维平面上的欧式距离

假设 二维平面 内有两点:

a

(

x

1

,

y

1

)

a(x_{1},y_{1})

a(x1,y1)

b

(

x

2

,

y

2

)

b(x_{2},y_{2})

b(x2,y2)

则二维平面的距离公式为:

d

12

=

(

x

1

x

2

)

2

+

(

y

1

y

2

)

2

d_{12}=sqrt{(x_{1}-x_{2})^2+(y_{1}-y_{2})^2}

d12=(x1x2)2+(y1y2)2

在这里插入图片描述

举个例子,就比如上图的

A

(

2

,

2

)

A(2,2)

A(2,2)

B

(

6

,

6

)

B(6,6)

B(6,6) 两点,计算

A

B

AB

AB 两点的距离为:

d

A

B

=

(

6

2

)

2

+

(

6

2

)

2

=

4

2

+

4

2

=

4

2

begin{aligned} d_{AB} &=sqrt{(6-2)^2+(6-2)^2}\ &=sqrt{4^2+4^2}\ &= 4sqrt{2} end{aligned}

dAB=(62)2+(62)2
=42+42
=42

② 三维空间上的欧式距离

假设 三维空间 内有两点:

a

(

x

1

,

y

1

,

z

1

)

a(x_{1},y_{1},z_{1})

a(x1,y1,z1)

b

(

x

2

,

y

2

,

z

2

)

b(x_{2},y_{2},z_{2})

b(x2,y2,z2)

则三维空间的距离公式为:

d

12

=

(

x

1

x

2

)

2

+

(

y

1

y

2

)

2

+

(

z

1

z

2

)

2

d_{12}=sqrt{(x_{1}-x_{2})^2+(y_{1}-y_{2})^2+(z_{1}-z_{2})^2}

d12=(x1x2)2+(y1y2)2+(z1z2)2

在这里插入图片描述

举个例子,比如上图的

A

(

0

,

0

,

4

)

A(0,0,4)

A(0,0,4)

B

(

0

,

2

,

0

)

B(0,2,0)

B(0,2,0) 两点,计算

A

B

AB

AB 两点的距离为:

d

A

B

=

(

0

0

)

2

+

(

0

2

)

2

+

(

4

0

)

2

=

0

+

4

+

16

=

2

5

begin{aligned} d_{AB} &=sqrt{(0-0)^2+(0-2)^2+(4-0)^2}\ &=sqrt{0+4+16}\ &= 2sqrt{5} end{aligned}

dAB=(00)2+(02)2+(40)2
=0+4+16
=25

③ n维空间上的欧式距离

假设 n维空间 内有两点:

a

(

x

11

,

x

12

,

.

.

.

,

x

1

n

)

a(x_{11},x_{12},…,x_{1n})

a(x11,x12,...,x1n)

b

(

x

21

,

x

22

,

.

.

.

,

x

2

n

)

b(x_{21},x_{22},…,x_{2n})

b(x21,x22,...,x2n)

则n维空间的距离公式为:

d

12

=

k

=

1

n

(

x

1

k

x

2

k

)

2

d_{12}=sqrt{sum_{k=1}^n(x_{1k}-x_{2k})^2}

d12=k=1n(x1kx2k)2

同理,n 维空间也是,将对应的向量作以上运算即可。(n 维的画不出来,需要用其他形式表示,就像下图一样)。

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