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一、概述
曼哈顿街区熙熙攘攘，在高处向下望去，曼哈顿的建筑方方正正地排列在一条条街道上，仿佛一个个棋子排列在键盘上。
想要计算两个建筑之间的距离，我们不能横穿某个建筑，需要拐弯抹角，经过一个个十字路口，才能到达我们想要去的地方。
曼哈顿距离，也正是这个原理，不能像 绿线（/） 一样，横穿建筑，而是需要和其它三条线一样， 穿过大街小巷。
二、计算公式
① 二维平面上的曼哈顿距离
假设 二维平面 内有两点：
a
(
x
1
,
y
1
)
a(x_{1},y_{1})
a(x1,y1) 与
b
(
x
2
,
y
2
)
b(x_{2},y_{2})
b(x2,y2)
则二维平面的曼哈顿距离公式为：
d
12
=
∣
x
1
−
x
2
∣
+
∣
y
1
−
y
2
∣
d_{12}=|x_{1}-x_{2}|+|y_{1}-y_{2}|
d12=∣x1−x2∣+∣y1−y2∣
例如上图的
A
(
1
,
1
)
A(1,1)
A(1,1) 与
B
(
5
,
4
)
B(5,4)
B(5,4)，则
A
B
AB
AB 两点的距离为：
d
A
B
=
∣
5
−
1
∣
+
∣
4
−
1
∣
=
4
+
3
=
7
begin{aligned} d_{AB} &=|5-1|+|4-1| \ &=4+3\ &=7 end{aligned}
dAB=∣5−1∣+∣4−1∣=4+3=7
② 三维空间上的曼哈顿距离
假设 三维空间 内有两点：
a
(
x
1
,
y
1
,
z
1
)
a(x_{1},y_{1},z_{1})
a(x1,y1,z1) 与
b
(
x
2
,
y
2
,
z
2
)
b(x_{2},y_{2},z_{2})
b(x2,y2,z2)
则三维空间的距离公式为：
d
12
=
∣
x
1
−
x
2
∣
+
∣
y
1
−
y
2
∣
+
∣
z
1
−
z
2
∣
d_{12}=|x_{1}-x_{2}|+|y_{1}-y_{2}|+|z_{1}-z_{2}|
d12=∣x1−x2∣+∣y1−y2∣+∣z1−z2∣
举个例子，比如上图的
A
(
1
,
2
,
3
)
A(1,2,3)
A(1,2,3) 与
B
(
6
,
3
,
5
)
B(6,3,5)
B(6,3,5) 两点，计算
A
B
AB
AB 两点的曼哈顿距离为：
d
A
B
=
∣
6
−
1
∣
+
∣
3
−
2
∣
+
∣
5
−
3
∣
=
5
+
1
+
2
=
8
begin{aligned} d_{AB} &=|6-1|+|3-2|+|5-3| \ &=5+1+2\ &=8 end{aligned}
dAB=∣6−1∣+∣3−2∣+∣5−3∣=5+1+2=8
③ n维空间上的曼哈顿距离
假设 n维空间 内有两点：
a
(
x
11
,
x
12
,
.
.
.
,
x
1
n
)
a(x_{11},x_{12},…,x_{1n})
a(x11,x12,...,x1n) 与
b
(
x
21
,
y
22
,
.
.
.
,
z
2
n
)
b(x_{21},y_{22},…,z_{2n})
b(x21,y22,...,z2n)
则n维空间的距离公式为：
d
12
=
∑
k
=
1
n
∣
x
1
k
−
x
2
k
∣
d_{12}=sum_{k=1}^n|x_{1k}-x_{2k}|
d12=k=1∑n∣x1k−x2k∣
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