距离度量 —— 余弦相似度（Cosine similarity）-繁依Fanyi

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文章目录

• • 一、概述
  • 二、计算公式
  • • ① 二维平面上的余弦相似度
    • ② n维空间上的余弦相似度
    • ③ 注意

一、概述

三角函数，相信大家在初高中都已经学过，而这里所说的余弦相似度（Cosine Distance）的计算公式和高中学到过的公式差不多。

在几何中，夹角的余弦值可以用来衡量两个方向（向量）的差异；因此可以推广到机器学习中，来衡量样本向量之间的差异。

因此，我们的公式也要稍加变换，使其能够用向量来表示。

二、计算公式

① 二维平面上的余弦相似度

假设 二维平面 内有两向量：

A

(

x

1

,

y

1

)

A(x_{1},y_{1})

A(x1​,y1​) 与

B

(

x

2

,

y

2

)

B(x_{2},y_{2})

B(x2​,y2​)

则二维平面的

A

A

A、

B

B

B 两向量的余弦相似度公式为：

c

o

s

(

θ

)

=

a

⋅

b

∣

a

∣

∣

b

∣

cos(theta)=frac{acdot b}{|a| |b|}

cos(θ)=∣a∣∣b∣a⋅b​

c

o

s

(

θ

)

=

a

⋅

b

∣

a

∣

∣

b

∣

=

x

1

x

2

+

y

1

y

2

x

1

2

+

y

1

2

x

2

2

+

y

2

2

begin{aligned} cos(theta)&=frac{acdot b}{|a| |b|}\ &=frac{x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{sqrt{x_{1}^2+y_{1}^2}sqrt{x_{2}^2+y_{2}^2}} end{aligned}

cos(θ)​=∣a∣∣b∣a⋅b​=x12​+y12​
​x22​+y22​
​x1​x2​+y1​y2​​​

② n维空间上的余弦相似度

推广到 n 维空间的两个向量

A

(

x

11

,

x

12

,

.

.

.

,

x

1

n

)

A(x_{11},x_{12},…,x_{1n})

A(x11​,x12​,...,x1n​) 与

B

(

x

21

,

x

22

,

.

.

.

,

x

2

n

)

B(x_{21},x_{22},…,x_{2n})

B(x21​,x22​,...,x2n​)，则有余弦相似度为：

c

o

s

(

θ

)

=

a

⋅

b

∣

a

∣

∣

b

∣

=

∑

k

=

1

n

x

1

k

x

2

k

∑

k

=

1

n

x

1

k

2

∑

k

=

1

n

x

2

k

2

begin{aligned} cos(theta)&=frac{acdot b}{|a| |b|}\ &=frac{sum_{k=1}^n x_{1k} x_{2k}}{sqrt{sum_{k=1}^nx_{1k}^2}sqrt{sum_{k=1}^nx_{2k}^2}} end{aligned}

cos(θ)​=∣a∣∣b∣a⋅b​=∑k=1n​x1k2​
​∑k=1n​x2k2​
​∑k=1n​x1k​x2k​​​

③ 注意

• 余弦相似度的取值范围为 $[-1,1]$
• 余弦越大表示两个向量的夹角越小，余弦越小表示两向量的夹角越大。
• 当两个向量的方向重合时余弦取最大值 $1$